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Die Verletzung der Bellschen Ungleichung

Ich denke, die Bellsche Ungleichung und die Folgen ihrer Verletzung sind einfach genug, dass sie jeder verstehen kann. Hier möchte ich anhand eines einfachen Spiels erläutern, wie sie funktioniert.

Regeln für ein einfaches Spiel:
"Finde Karten der gleichen Farbe"

Ich möchte Sie zu einem einfachen Spiel einladen:

Ich lege drei Karten meiner Wahl verdeckt auf den Tisch, so dass Sie deren Farbe nicht sehen können. Der Wert der Karten ist unwichtig, das einzige, worauf es ankommt, ist, ob die Farbe rot oder schwarz ist.


Sie wählen zwei der drei Karten aus.

Ihr Ziel ist, zwei Karten mit derselben Farbe zu finden — also entweder zwei rote oder zwei schwarze Karten.

Wenn Sie die Karten gewählt haben, drehe ich die von Ihnen gewählten Karten um.


Wenn die beiden Karten verschiedene Farben haben — also eine rot und die andere schwarz ist — haben Sie diese Runde verloren.

Sie haben mir in diesem Fall 100 € zu zahlen.


Wenn hingegen beide Karten die gleiche Farbe haben — also beide rot, oder beide schwarz — habe ich die Runde verloren.

In diesem Fall habe ich Ihnen 200 € zu zahlen.


Ist das Spiel fair für Sie?

Sie haben drei Möglichkeiten, zwei von drei Karten auszuwählen. Wenn ich mindestens eine schwarze und mindestens eine rote Karte wähle, gewinne ich in zwei von diesen drei Fällen. Eine bessere Möglichkeit habe ich nicht. Ich kann die Karten nicht so auswählen, dass ich immer gewinne. Ihre Chance zu gewinnen ist daher, in diesem Fall, 13. Die Geldbeträge sind so gewählt, dass das Spiel in diesem Fall fair ist.

Ich habe noch eine weitere, aber ziemlich dumme, Möglichkeit: Alle Karten mit derselben Farbe. In diesem Fall gewinnen Sie immer. Natürlich bin ich nicht so blöd, dass ich diese Möglichkeit verwende. Aber die Möglichkeit dazu habe ich. Und deswegen haben wir keine Gleichung für Ihre Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, sondern eine Ungleichung:

Ihre Chance zu gewinnen ist mindestens 13.


Eine noch sicherere Variante

Wir wollen aber noch mehr Sicherheit, wir wollen das Spiel sogar so sicher machen, dass man selbst während des Aufdeckens nicht schummeln kann. (Bis jetzt wäre dies durchaus noch möglich: wenn ich die anderen Karten vertauschen kann, während Sie die erste Karte aufdecken, kann ich immer gewinnen — aber dies geht natürlich erst, wenn ich weiss, welche Karte Sie aufdecken).

Dazu verteilen wir das Spiel auf zwei Räume, mit zwei Mannschaften aus je zwei Spielern. Wir beide sind in einem Raum, unsere Teamkameraden im anderen Raum.

Auch die Karten werden verdoppelt, so dass wir je drei Karten in jedem Raum haben. Diese drei Karten müssen gleich sein. Zumindest verspricht dies unser Team. Aber Sie brauchen keine Angst zu haben, Sie erhalten ausreichend Möglichkeit, dies nachzuprüfen.

Meine Mannschaft hat natürlich vor dem Spiel die Möglichkeit, die Wahl der Karten zu koordinieren. Mein Freund weiß also, welche Karten ich aufdecken werde, und umgekehrt, genauer, wir haben die Möglichkeit dazu.


Wie in der ersten Variante, liegen die Karten verdeckt vor. Sie sehen die drei verdeckten Karten in unserem Raum, Ihr Freund drei verdeckte Karten in seinem Raum. Auch Ihr Team kann sich vorher beraten haben, welche Strategie sie wählt. Dann werden die Türen werden geschlossen, weitere Kommunikation ist nicht möglich.

Nun wählt Ihr Team die Karten aus, diesmal in jedem der beiden Räume nur eine Karte. Nach dieser Wahl wird die eine ausgewählte Karte geöffnet. Danach treffen wir uns um die Ergebnisse zu vergleichen.


Dazu müssen wir nun vier verschiedene Situationen betrachten:


Überprüfung des Versprechens:
Die gleiche Karte in beiden Räumen


Wenn Ihr Team in beiden Räumen die gleiche Karte (also die an der gleichen Stelle) auswählt, wird in dieser Runde lediglich überprüft, ob wir unser Versprechen eingehalten haben: Die beiden Karten müssen gleich sein.

Sind sie gleich, dann zählt diese Runde nicht. (Ob Sie uns für den Zeitverlust nicht doch 1 € zahlen sollten, sei dahingestellt.)


Wenn, statt dessen, die Karten verschieden sind, haben Sie uns bei einem schweren Betrugsversuch erwischt.

So etwas muss hart bestraft werden. Unser Team hat 100 000 € zu zahlen und wandert ins Gefängnis.


Das Originalspiel:
Verschiedene Karten in beiden Räumen


Die andere Situation ist die, dass Sie verschiedene Karten in beiden Räumen wählen. In diesem Fall ist das Spiel dasselbe wie vorher.

Wenn die beiden Karten verschiedene Farben haben — also eine rot, die andere schwarz — haben Sie die Runde verloren und zahlen uns 100 €.


Haben die beiden Karten hingegen die gleiche Farbe — also beide rot oder beide schwarz — haben wir verloren und zahlen Ihnen 200 €.

Weitere Betrugsmöglichkeiten

Welche Möglichkeiten bestehen denn nun noch für uns, trotzdem noch zu betrügen?

Betrugsmöglichkeit Geheimer Informationskanal

Wir könnten einen geheimen Informationskanal verwenden, in dem die Frage aus dem einen Raum sofort in den anderen Raum gesendet wird. Dann fällt betrügen nicht mehr schwer – wir sind wieder in derselben Situation wie im ersten Spiel, also genau in der Situation, die wir durch die Aufteilung in zwei Räume verhindern wollten.

Wenn man aber keinen geheimen Informationskanal hat, sieht es schlecht aus für Betrüger. Eine erwähnenswerte Betrugsmöglichkeit gibt es allerdings noch:

Betrugsmöglichkeit Hypnose

Wenn unser Team in der Lage ist, hypnotischen Einfluss auf Ihr Team auszuüben, fällt es uns auch nicht schwer, zu gewinnen. Wir wählen die ersten beiden Karten verschieden, und verhindern durch Hypnose, dass jemand aus Ihrem Team die dritte Karte wählt.

Dagegen können Sie sich jedoch wappnen, indem Sie vorher einen objektiven Algorithmus festlegen, nach dem Sie verfahren. Sie können die Werte vorher ausmachen und aufschreiben. Sie können einen Würfel zur Auswahl verwenden. Oder sie verwenden ein quantenmechanisches Experiment. Oder einen deterministischen Zufallsalgorithmus. Oder sie verwenden all diese Mechanismen zusammen, um daraus eine Zahl zu bilden. Selbst wenn wir die eine oder andere dieser Möglichkeiten manipulieren könnten – alle zusammen zu kontrollieren, so dass wir verhindern könnten, dass Sie die dritte Karte wählen, dürfte auszuschließen sein.

Diese Möglichkeit betrachten wir deswegen nicht weiter.

Mehr Betrugsmöglichkeiten gibt es nicht

In der Tat, wir können Ihre Wahl nicht manipulieren. Und da ich – aufgrund fehlenden Informationskanals – nicht wissen kann, ob im anderen Raum dasselbe gefragt wird, mus ich genau so antworten, wie der Freund im anderen Raum auf dieselbe Frage antwortet. Das heisst, die Antworten auf alle drei Fragen müssen (wieder mangels Informationskanal) vorher ausgemacht werden. Dann aber gibt es eigentlich nichts zu betrügen, denn dass die Antworten auf die Fragen vorher festgelegt und in beiden Räumen gleich sind, ist ja nicht nur erlaubt, sondern die Spielregel. Wir können also, bei dieser Variante mit getrennten Räumen, sogar auf die Auslegung von Karten verzichten. Sie fragen uns dann einfach, welche Farbe wir als rechte, mittlere oder linke Farbe ausgemacht haben.

Damit bleibt uns nur eine Betrugsmöglichkeit — ein geheimer Informationskanal. Genau dies ist Bells Theorem:


Wenn es keinen Informationskanal zwischen beiden Räumen gibt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit in diesem Spiel für Ihre Mannschaft mindestens ein Drittel.

Um es noch einmal klar zu formulieren: dieses Spiel ist nicht etwa eine entfernte Analogie zu etwas, was mit der Bellschen Ungleichung zu tun hat, sondern es ist genau die Bellsche Ungleichung, und wenn man sich von der Richtigkeit der obigen Behauptung über dieses Spiel überzeugt hat, dann hat man sich damit von der Richtigkeit der Bellschen Ungleichung überzeugt.

Ein Kriterium für kausale Beeinflussung

Dies können wir auch umdrehen, und wir erhalten folgendes Kriterium für die Existenz eines Informationskanals:

Wenn in diesem Spiel Ihre Mannschaft regelmäßig verliert, dann muss ein Informationskanal zwischen den beiden Räumen existieren.

Was hat dies nun mit Relativitätstheorie und Quantenmechanik zu tun?

Nun, die Beziehung zur Relativitätstheorie ist erstmal einfach. Die Relativitätstheorie behauptet, dass die maximale Geschwindigkeit für jede Informationsübertragung die Lichtgeschwindigkeit ist. Wenn die Räume also weit genug voneinander entfernt sind, und der Zeitraum zwischen den Entscheidungen eurer Mannschaft, welche Karte ihr sehen wollt, und unserer Antwort kurz genug ist, so dass weder ich deine Entscheidung mit Lichtgeschwindigkeit an meinen Freund senden kann, noch er die Entscheidung deines Freundes an mich, dann bräuchten wir einen Informationskanal mit Überlichtgeschwindigkeit zum Betrügen. So etwas sollte es aber laut Relativitätstheorie nicht geben.

Doch selbst wenn die Relativitätstheorie es verbietet — ich wüsste keinen Grund, deswegen an unserem Kriterium etwas zu ändern. Verliert deine Mannschaft regelmäßig, dann gibt es einen Informationstransfer, und die Einstein-Kausalität wäre einfach experimentell widerlegt.

Die Verletzung der Bellschen Ungleichung

Genau dies ist aber passiert: Die Quantenmechanik sagt es voraus, und die Experimente, beginnend mit Aspects berühmtem Experiment, haben diese Voraussage der Quantenmechanik bestätigt: es gibt einen Apparat, bei dessen Anwendung Ihre Mannschaft nur in einem Viertel der Fälle (und nicht in einem Drittel) gewinnt, und damit im statistischen Mittel pro Spiel 200 € * 1/4 - 100 € * 3/4 = 25 € verliert. Und damit ist, wenn unser Kriterium (und somit unsere obige Argumentation) richtig ist, die Einstein-Kausalität einfach experimentell widerlegt.

Warum man diesem Kriterium nicht folgt

Dies ist allerdings nicht die Mehrheitsmeinung der Physiker. Die Relativitätstheorie, und insbesondere auch die Einstein-Kausalität, sind nach wie vor in hohen Ehren. Warum?

Schlupfloch Detektoreffizienz

Um ganz genau zu sein, gibt es heute noch kein Gerät, mit dem wir im Spiel wirklich gegen Ihr Team gewinnen könnten, denn das Gerät funktioniert nur manchmal. Es wäre also nur dann einsetzbar, wenn deine Mannschaft einverstanden ist, wenn wir ab und zu (genauer gesagt ziemlich häufig) sagen "Entschuldigung, jetzt habe ich für dieses Spiel die Karte vergessen". Dies würdet ihr kaum zulassen, da wir mit bewusst eingesetzten falschen Ausreden eine leichte Möglichkeit zum Betrug hätten (wir könnten sie zum Beispiel immer verwenden, wenn jemand nach der dritten Karte fragt).

Für den Experimentalphysiker sieht dieser beim Spiel natürliche Verdacht jedoch sehr nach einer nicht weiter ernst zu nehmenden Konspirationstheorie aus. Die Apparate funktionieren nämlich genauso wie die Quantentheorie voraussagt, und die geringe Effizienz der Apparate scheint ein rein technisches Problem zu sein. Daher sehen wir, und mit uns auch der Mainstream der Physik, von dieser Erklärung ab.

Schlupfloch Ablehnung des Realismus

Die Lösung, die der heutige Mainstream vorzieht, ist die Ablehnung des klassischen Realismus. Dies ist die Lösung des Problems, gegen die wir hier polemisieren. Es fällt mir schwer, gute Gründe für diese Alternative anzuführen.

Allerdings gab es zu der Zeit, als diese Entscheidung gefällt wurde, durchaus einige solcher guten Gründe. Dies waren:

In der damaligen Situation war die Ablehnung des Realismus also eine durchaus verständliche Entscheidung. In der heutigen Situation kann ich jedoch die Aufrechterhaltung dieser Entscheidung nicht mehr nachvollziehen.