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Definition der starken Einstein-Kausalität

Zum Beweis der Bellschen Ungleichung brauchen wir die Einstein-Kausalität, und dies in einer Variante, die hier stark genannt wird. Für die Diskussion der Alternativen brauchen wir allerdings auch noch weitere, schwächere Kausalitätsbegriffe, insbesondere schwache Einstein-Kausalität sowie starke und schwache klassische Kausalität.

Starke und schwache Begriffe von Kausalität

Den beiden Klassen von Theorien — statistischen und realistischen Theorien —, die wir definiert haben, entsprechen zwei verschiedene natürliche Definitionen von Kausalität. Uns interessiert hierbei nur eine spezielle, aber zentrale Frage in Bezug auf die Kausalität: Hat die Entscheidung des Experimentators, das Messgerät auf einen Wert a einzustellen, einen Einfluss auf das Messergebnis y?

Statistisch nachweisbare Kausaleinwirkung

In einer statistischen Theorie haben wir nur die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ρ(y,a) zur Verfügung. Die Formel für das Messergebnis

E(f,a) = ∫ f(y) ρ(y,a) dy

erlaubt uns in vielen Fällen eine positive Antwort: Wenn ρ(y,a) von a abhängt, dann gibt es einen kausalen Einfluss von a auf das Messergebnis y. Wir nennen dies einen statistisch nachweisbaren kausalen Einfluss. Ein solcher nachweisbarer kausaler Einfluss kann auch zur Nachrichtenübertragung genutzt werden: Die Auswahl des Parameters a durch den Experimentator ist das Abschicken des Signals, die Messung von y der Empfang des Signals. (Hängt ρ(y,a) nur schwach von a ab, müssen evtl. viele solcher Messungen durchgeführt werden, bevor man die Eingabe a mit hinreichender Sicherheit identifizieren kann. Im Prinzip ist jedoch eine solche Anwendung immer möglich, wenn ρ(y,a) von a abhängt.)

Diesen Kausalitätsbegriff nennen wir schwach.

Reale kausale Abhängigkeit

Gibt es eine solche Abhängigkeit jedoch nicht, so bedeutet dies noch lange nicht, dass es keinerlei kausalen Einfluss auf das Messergebnis gibt. Nehmen wir an, jemand soll uns Zahlen zwischen eins und sechs nennen. Er benutzt dazu einen Würfel. Für a=1 sagt er uns den Wert x, den der Würfel gezeigt hat, für a=0 hingegen den Wert 7-x. Der Wert des Parameters a hat hier offensichtlich einen kausalen Einfluss auf das Ergebnis.

Nur könnten wir (wenn der Würfel selbst fair ist), diesen kausalen Einfluss niemals durch irgendeine statistische Analyse herausfinden. Egal ob x oder 7-x, es ist immer nur eine Gleichverteilung über den Werten von 1 bis 6. Ein solcher kausaler Einfuss wäre statistisch nicht nachweisbar.

Um einen solchen Einfluss zu beschreiben, brauchen wir einen anderen Kausalitätsbegriff. Dieser Begriff ergibt sich auf natürliche Weise aus jeder realistischen Erklärung:

Es gibt einen kausalen Einfluss von a auf y, wenn die Funktion y(x,a) von a abhängt. Diesen Begriff nennen wir realen kausalen Einfluss oder starken Kausalitätsbegriff.

Wir haben somit zwei verschiedene Kausalitätsbegriffe — einen schwächeren, der nur die statistisch nachweisbaren bzw, für Informationsübertragung nutzbaren kausalen Abhängigkeiten erfasst, und einen stärkeren, der, auf der Grundlage einer realistischen Theorie, reale kausale Abhängigkeiten erfasst.

Der Kausalitätsbegriff, der im Beweis der Bellschen Ungleichung verwendet wird, ist der zweite, stärkere.

Einstein-Kausalität vs. klassische Kausalität

Von beiden Varianten des Kausalitätsbegriffs gibt es zwei Versionen: Einmal die Einstein-Kausalität, für die die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum eine absolute oberste Grenze für kausale Einflussnahme darstellt.

Die Alternative ist die klassische Kausalität in einem bevorzugten Bezugssystem.

Damit haben wir vier Kausalitätsbegriffe zu unterscheiden: Klassische bzw. Einstein-Kausalität, beide jeweils in ihrer statistisch nachweisbaren bzw. realistischen Version.

Welcher Kausalitätsbegriff müsste aufgegeben werden, um den klassischen Realismus zu erhalten?

Aufgegeben werden müssten diejenigen Kausalbegriffe, die, zusammen mit dem klassischen Realismus, den Beweis der Bellschen Ungleichung erlauben. Denn diese Ungleichung wird ja verletzt — dies sagt sowohl die Quantentheorie als auch alle bisherigen experimentellen Tests (auch wenn diese noch Lücken lassen).

Im Beweis der Bellschen Ungleichung brauchen wir jedoch unbedingt einen, den stärksten der vier Varianten — die Einstein-Kausalität in ihrer starken, realistischen Variante. Weder die schwache (auf statistisch nachweisbare Kausalabhängigkeiten beschränkte) Variante der Einstein-Kausalität noch die starke Variante der klassischen Kausalität (in einem bevorzugten Bezugssystem) sind ausreichend, um die Bellsche Ungleichung zu beweisen. Sie müssen daher auch nicht aufgegeben werden.

Insofern muss für die Erhaltung des klassischen Realismus überhaupt nichts aufgegeben werden: Denn der Begriff, der aufgegeben muss — die Einstein-Kausalität in ihrer realistischen Variante — existiert sowieso nur innerhalb realistischer Theorien. Bei einer Aufgabe des klassischen Realismus wird dieser Begriff sinnlos, undefiniert, er muss daher sowieso aufgegeben werden.

Konflikt mit dem manifest-relativistischen Symmetrieprinzip

Um Argumenten dieser Art auszuweichen, brauchen wir ein Prinzip, welches sich auch nach Aufgabe des Realismus nicht auf ein schwaches, auf beobachtbare Effekte reduziertes Relativitätsprinzip reduziert. Denn ansonsten ist die Kombination aus Realismus und schwachem Relativitätsprinzip immer noch gehaltvoller als eine Aufgabe des Realismus.

Eine solche Möglichkeit gibt es, es ist das manifeste Relativitätsprinzips — ein im höchsten Grade allgemeines und metaphysisches Prinzip.