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Beweis der Bellschen Ungleichung

Die experimentelle Situation ist folgende:

Der Zustand ψ ist beliebig. Die Messung besteht aus zwei getrennten Messgeräten M1, M2, die jeweils drei mögliche Einstellungen a1, a2 ∈ {v1,v2,v3} haben. Es werden Ergebnisse y1, y2 ∈ {1,-1} gemessen.

Verwendung des Realismus zur Beschreibung der Messergebnisse

Wir messen den Erwartungswert des Produktes f(y) = y1 ⋅ y2. Eine realistische Erklärung für die Messergebnisse muss, nach der Definition des Realismus, folgendermaßen aussehen:

E(f, a1, a2) = ∫ y1(x, a1, a2) ⋅ y2(x, a1, a2) ρ(x) dx

Verwendung der strengen Einstein-Kausalität

Die beiden Messungen mögen nun in etwa gleichzeitig an sehr weit entfernten Orten stattfinden, beispielsweise auf Erde und Mars, so dass das Licht Minuten braucht, um vom einen zum anderen Planeten zu gelangen. Die Zeit zwischen Festlegung der Einstellung ai am einzelnen Messgerät — eine freie Entscheidung des jeweiligen Experimentators — und dem Erhalt des Messergebnisses yi auf diesem Messgerät sei im Vergleich dazu vernachlässigbar, sagen wir, wenige Sekunden. (Die Geschwindigkeiten von Mars und Erde sind zu gering, als dass die Relativität der Gleichzeitigkeit irgendeine Rolle spielen würde, aber der Bestimmtheit halber sei hier das Ruhesystem der Sonne verwendet.)

Ein Signal, welches von M1 ausgeht, wenn a1 vom Experimentator ausgewählt wurde, erreicht das Messgerät M2 also erst dann, wenn y2 schon längst gemessen worden ist, und umgekehrt. Dies bedeutet, dass, nach der starken Einstein-Kausalität, die Funktion y2(x,a1, a2) nicht von a1 abhängen darf und umgekehrt. Damit reduziert sich die Formel auf

E(f, a1, a2) = ∫ y1(x, a1) ⋅ y2(x, a2) ρ(x)dx

Dies ist bereits die zentrale Formel (2), von der ausgehend Bell seine Ungleichung bewies. Alles, was philosophisch, methodologisch oder wissenschaftstheoretisch problematisch ist, ist hier bereits passiert. Die problematischen Voraussetzungen — Realismus und starke Einstein-Kausalität — sind bereits verwendet. Der Rest ist ziemlich elementare Mathematik.

Herleitung der eigentlichen Ungleichung

Es sei hier erwähnt, dass es viele verschiedene Varianten der Bellschen Ungleichung gibt, die jeweils verschiedene Vor- und Nachteile haben. Insbesondere ist für praktische Tests wichtig, dass Ungenauigkeiten bei der Messung toleriert werden können — dies geht allerdings auf Kosten der Einfachheit und Nachvollziehbarkeit. Wir betrachten hier im weiteren nur die Variante, die wir in unserem Spiel betrachtet haben.

Wenn nicht betrogen wird, bedeutet dies, dass wir folgende Nebenbedingung haben: Wann immer a1=a2=a ist, gilt auch

E(f,a, a) = ∫ y1(x,a) ⋅ y2(x,a) ρ(x)dx = 1,

und dies geht nur, wenn immer y1=y2 gilt. Damit müssen die beiden Funktionen y1(x,a) und y2(x,a) gleich sein. Somit gibt es eine gemeinsame Funktion y(x,a) ∈ {-1,1} so dass

E(f,a1, a2) = ∫ y(x,a1) ⋅ y(x,a2) ρ(x)dx

gilt. Für solche Funktionen mit Werten in {-1,1} gilt nun aber immer

y(x, v1) ⋅ y(x, v2) + y(x, v2) ⋅ y(x, v3) - y(x, v3) ⋅ y(x, v1) ≤ 1,

was man sich leicht klar machen kann: Jedes der drei Produkte kann nur ±1 sein, und damit die Ungleichung verletzt ist, müssten alle drei Produkte +1 sein. Aber das geht nicht, weil dann y(x,v1)=y(x,v2), y(x,v2)=y(x,v3), aber y(x,v3)=-y(x,v1) sein müsste.

Diese Ungleichung müssen wir nur noch integrieren und erhalten

E(f, v1, v2) + E(f, v2, v3) - E(f, v3, v1) ≤ 1,

was die für unser Spiel nötige Variante der Bellschen Ungleichung ist.