об авторе
предупреждение: нетрадиционные взгляды

Клеточная решётка

Модель клеточной решетки — альтернатива к теории струн и другим направлениям фундаментальной физики. Но, в отличии от большинства "альтернативных теорий" в сети, статья с подробными формулами (на английском) про эту модель опубликована (под DOI 10.1007/s10701-008-9262-9) в журнале Foundations of Physics (и бесплатно на arXiv:1003.1446):

I. Schmelzer, A Condensed Matter Interpretation of SM Fermions and Gauge Fields, Foundations of Physics, vol. 39, 1, p. 73 (2009)

Эта модель дает все обнаруженные до сих пор частицы Стандартной Модели теории элементарных частиц: Все три поколения фермионов (правда, пока без предсказания масс), и всю калибровочную группу, вместе с её действием на фермионах. К тому же получается метрическая теория гравитации, которая очень близка к Общей Теории Относительности Эйнштейна (ОТО).

Введение

Здесь я хочу давать более простое введение в модель, для студентов или непрофессионалов, не совсем без формул, но с простыми формулами. Одно преимущество этой теории в том, что это возможно, потому что она сама довольно простая. Для профессионалов есть еще русская версия доклада.

Эта картинка — не просто символическая, нет. Модель на самом деле такая простая. Есть маленькие клеточки. Они могут колебаться разными способами. Возможны сдвиги, вращения, и деформации, но только довольно простые, линейные. Клетки образуют простую трехмерную решётку. Между клетками есть свободное пространство — так что клетки могут колебаться независимо друг от друга. Пространство между клетками не обязательно совсем пусто. Там может быть что-то другое, скажем, какая-то жидкость или какое-то аморфное вещество — главное, чтобы оно не особенно мешало клеткам колебаться.

А как отсюда частицы получаются? Классическим способом никак. В классической теории имеются только волны.

Частицы появятся только при квантовании, как квантовые эффекты этих классических волн. В этом ничего нового — таким же образом из классического электромагнитного поля получаются, как квантовые эффекты, фотоны. Еще более интересный пример — фононы. Это такие же квантовые квазичастицы — только для звуковых волн. Аналогично, все частицы стандартной модели получаются как квантовые эффекты "звуковых волн" нашей модели.

Фермионы

При квантовании фермионов пришлось решить одну нетривиальную проблему: До сих пор считался, что фононы обязательно должны быть бозонами. Но мне удалось найти метод получения таким образом и фермионов. Однако только в придачу к бозонам. К счастью, между ними большая разница в массах. Без всякой конспирации масса бозона может быть на много порядков больше чем масса фермиона. К сожалению этот вопрос слишком сложный для рассмотрения здесь, и мы отсылаем интересованных читателей к статье (на английском) или к докладу.

Зато легче понять соответствие между фермионам стандартной модели и классическим волнам нашей модели:

Фермионы стандартной модели

В стандартой модели имеются 24 фермиона. Они появляются парами: У электрона есть электронное нейтрино, у других лептонов (с зарядом -1) есть тоже свое нейтрино (с зарядом 0), и кварки тоже появляются парами, для каждого "верхнего" кварка (заряд 2/3) имеются "нижный" (заряд -1/3). Эти пары называются "электрослабые пары".

Потом фермионы появятся в трех поколениях. Если не рассматривать массы, то эти три поколения совершенно идентичны. К тому еще кварки различаются цветом. Таблица фермионов такая:

красные кварки зеленые кварки синие кварки лептоны, нейтрино
1. поколение (down,up) (down,up) (down,up) (electron e, neutrino νe)
2. поколение (strange, charmed) (strange, charmed) (strange, charmed) (myon μ, neutrino νμ)
3. поколение (bottom,top) (bottom,top) (bottom,top) (τ-meson τ, neutrino ντ)

Каждый фермион (другое название Дираковская частица или Дираковский фермион в честь Дирака) само по себе сложный объект: Для его описания нужны четыре комлексные функции. Значит, всего для описания фермионов стандартной модели нужны 24 × 4 = 96 комплексных полей.

Еще нам в далнейшем понадобится разложение Дираковской частицы на "левую" и "правую" часть. В нашей модели эти названия не следуют воспринимать дословно. (Оператор пространственной инверсией в нашей модели оказывается CP, а не P.)

Степени свободы в нащей модели

Рассмотрим теперь, какие степени свободы есть у нашей решетки.

Состояние одной клетки в нашей модели описывается одной аффиного преобразования. Это просто то преобразование, которое понадобится, чтобы получить состояние клетки (с ее сдвигом, вращением, и линейной деформацией) из стандартной недеформированной клетки находящейся в начале координат. А такое аффиное преобразование описывается двенадцатью числами aiμ по такому правилу:

y1 = a11x1+ a12x2+ a13x3+ a10
y2 = a21x1+ a22x2+ a23x3+ a20
y3 = a31x1+ a32x2+ a33x3+ a30

Как видно, есть соответствие между парами фермионов в стандартной модели и коэффициентами aiμ аффиного отображения:

красные кварки зеленые кварки синие кварки лептоны, нейтрино
1. поколение a11 ~ (d,u)r a12 ~ (d,u)g a13 ~ (d,u)b a10 ~ (e,νe)
2. поколение a21 ~ (s, c)r a22 ~ (s, c)g a23 ~ (s, c)b a20 ~ (μ,νμ)
3. поколение a31 ~ (b,t)r a32 ~ (b,t)g a33 ~ (b,t)b a30 ~ (τ,ντ)

Но больше ли это чем красивая случайность? Состояние всей нашей решетки описывается таким набором функции:

aiμ(n1,n2,n3): Z3→Aff(3),

где для каждой клетки (n1,n2,n3) ∈ Z3 определяется ее состояние — аффиное преобразование aiμ. Значит, для каждой пары частиц имеется пока всего одна функция a(n1,n2,n3) на решетке. Не мало ли?

Оказывается, не мало, а как раз достаточно. Причина в том, что есть еще и разные типы волн, которые мы можем увидеть на больших расстояниях. На первый взгляд все просто: Волна, которая для нас, на болших расстояниях, видна как непрерывная функция φ(x1,x2,x3), на решетке представлена своими значениями в точках

a(n1,n2,n3)= φ(n1Δ,n2Δ,n3Δ)

с очень маленким Δ. Значит, решеточная функция a(n1,n2,n3) должна менятся очень медленно от точки к точке. Но, оказывается, что это не совсем так. Есть еще и другие волны, которые важны на больших расстояниях. И они вовсе не меняются медленно, но, наоборот, даже очень быстро. Но они осциллируют таким специальным образом, что можно их представить как комбинацию непрерывной функции, которая очень медленно меняется от точки к точке, и осциллирующей части. Такая функция выгладит так:

a(n1,n2,n3)= φ1κ2κ3) (n1Δ,n2Δ,n3Δ) (-1)κ1n1 (-1)κ2n2 (-1)κ3n3

с κi ∈ {0,1}. Разложение можно еще определить по другому — почти непрерывными оказываются функции на подрешетках четных и нечетных (в каждом направлении) узлов:

a(2n11,2n22,2n33)= ψ1κ2κ3) ((2n11)Δ,(2n22)Δ,(2n33)Δ)

Так что то, что случается с одной решеточной функции a(n1,n2,n3), в непрерывном пределе надо описать с помощью восьми непрерывных функций φ1κ2κ3) (x1,x2,x3) (или, эквивалентно, ψ1κ2κ3) (x1,x2,x3)).

Эти разные типы осциллации связаны с направлениями в пространстве, и этим они очень похоже на дифференциальные формы. Поэтому удобно представить их в такой форме:

a(n1,n2,n3) → ∑1κ2κ3) ψ1κ2κ3) (x1,x2,x3) (dx1)κ1 ∧ (dx2)κ2 ∧ (dx3)κ3

так что одной функции на решетке соответствует, в непрерывном пределе, неоднородная дифференциальная форма. Пространство таких форм обозначается Λ(R3).

Но это пока только состояние. Есть еще и импульсы. Для каждого a(n1,n2,n3) имеется соответствующий импульс π(n1,n2,n3), и для каждого φ1κ2κ3)(x1,x2,x3) имеется π1κ2κ3)(x1,x2,x3). Вместе они образуют комплексные поля

ψ1κ2κ3)(x1,x2,x3) = φ1κ2κ3)(x1,x2,x3) + i π1κ2κ3)(x1,x2,x3),

так что мы получаем уже пространство C ⊗ Λ(R3) для одной степени свободы на решетке. Это пространство состоит из восьми комплексных функции. А для одного Дираковского фермиона нужны всего четыре комплексные поля. Значит, имеются как раз столько функции, сколько нужно для описания двух Дираковских фермионов — одной электрослабой пары, значит, именно то, что нам надо. Если еще вспомнить про другие индексы, то нам для описания нашей решеточной модели в непрерывном пределе нам понадобится 12 × 8 = 96 комплексных функции

ψμi1κ2κ3)(x1,x2,x3),

и этот набор функции описывает элемент пространства

Aff(3) ⊗ C ⊗ Λ(R3).

Это пространство определяет трехмерную геометрическую интерпретацию фермионов стандартной модели.

Калибровочные поля

Как и в случае фермионов, то, что мы получаем из нашей модели, понять сложнее чем самую модель. Все равно мы начинаем с этой сложной части — того результата, которого мы вычислим в конце. Если в этой первой части чего-то непонятно — не страшно, можно читать по диагонали.

Калибровочные поля стандартной модели

Кроме фермионов, в стандартной модели есть еще калибровочные поля. Они описывают взаимодействия фермионов: электромагнитное поле, слабое взаимодействие (которое отвечает за радиоактивные распады), и сильное взаимодействие, которое держит кварки в протонах и нейтронах, и тех в атомных ядрах.

Калибровочные поля трансформируют фермионы. Эти трансформации образуют группу, которую называют "калибровочной группы". Эти группы непрерывные. В стандартной модели нужны только унитарные группы: Группа U(N) — это группа N-мерных унитарных матриц ("унитарно" значит U*U=1, что соответствует сохранением комплексной структуры), а SU(N) — ее "специальная" подгруппа элементов с определителем det U = 1.

Калибровочная группа стандартной модели состоит из трех частей:

Вся калибровочная группа стандартной модели есть

GSM ≅ SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y.

В стандартной модели никак не объясняется, почему группа именно такая, и почему она так действуют на фермионах как она действует. Оказывается, в нашей модели это можно фактически вычислить.

Евклидова симметрия

Рассмотрим вопрос, что получается, если свинуть или поварачивать всю рещетку как целое.

Повороты описываются 3×3 матрицей ωij. А сдвиг — это просто вектор ti. Их действие в пространстве определено так:

x1 y1 = ω11x1+ ω12x2+ ω13x3+ t1
x2 y2 = ω21x1+ ω22x2+ ω23x3+ t2
x3 y3 = ω31x1+ ω32x2+ ω33x3+ t3

Из этой формулы уже можно вывести правила, по которым они действуют на клетки (то есть, на коэффициенты aiμ, с помощью которых мы описываем их состояние).

Повороты

Повороты действуют так:

aμ1 a'μ1 = ω11aμ1+ ω12aμ2+ ω13aμ3
aμ2 a'μ2 = ω21aμ1+ ω22aμ2+ ω23aμ3
aμ3 a'μ3 = ω31aμ1+ ω32aμ2+ ω33aμ3

Другими словами, они поворачивают, согласно нашему соответствию, три поколения фермионов.

Это — очень интересное свойство, потому что все калибровочные поля имеют такое общее свойство: Они не меняют поколение частицы, и, к тому еще, действуют совершенно одинакого на всех трех поколениях. В стандартной модели это странное свойство просто постулируется, нет никакого объяснения почему это так. Но теперь у нас появится такое объяснение: Эти свойства — как раз то, что нужно, если все взаимодействия сохраняют симметрию относительно поворотов. (На жаргоне физиков они "коммутируют с поворотами".)

Сдвиги

Посмотрим теперь, как действуют сдвиги. Формулы такие:

a01 a'01 = a01+ t1
a02 a'02 = a02+ t2
a03 a'03 = a03+ t3

Согласно нашему соответствию, сдвиги действут только на лептоны. А там уже надо подробнее посмотреть, потому что, в отличии от поворотов, сдвиги действует еще по разному на наши двойники. Вектор сдвига — постоянный. По этому сдвигается только неосциллирующая компонента φ(000). Остальные, осциллирующие, компоненты не меняются.

А что значит, в этом случае, сохранение симметрии сдвигов? Оказывается, для этого необходимо и достаточно, чтобы калибровочное поле не взаимодействовал с той компоненты φ(000), которая сдвигается. Она должна иметь заряд 0 для всех сил. И одна такая "нетронутая" компонента φ0i(000) должна быть в каждом из трех поколении с индексом i.

Но такая компонента есть — правая компонента нейтрино. Это другое, очень странное свойство стандартной модели. Эта особенность правого нейтрино не имела никакого объяснения, и она казалась многим такой некрасивой, что придумали разные, более симметричные, варианты, где правое нейтрино участвует в взаимодействиях наравне с другими. Но в нашей модели это очень естественное свойство: Все поля стандартной модели не только сохраняют симметрию поворотов, но и симметрию сдвигов.

Таким образом, наша модель дает простое, естественное объяснение двух очень странных свойств стандартной модели.

Симплектическая структура

Есть еще и другая важная структура — так называемая "симплектическая структура" на фазовом пространстве (фазовое пространство — это пространство, которое содержит еще и импульсы). Калибровочная группа должна сохранить эту структуру. Следствие этого (для компактных групп): можно определить еще и комплексную структуру, которая сохраняется. Поэтому группы дольжны быть унитарными. Все группы стандартной модели на самом деле унитарные (как уже видно из обозначения — большое U в нем, от слова unitary).

Две типы калибровочных полей

Сохранением Евклидовой симметрии и симплектической структуры уже объясняются многие свойства калибровочной группы стандартной модели. Но не все. Есть другие группы, которые не нарушают ни Евклидовую симметрию, ни симплектическую структуру, но все равно они не наблюдаются. Есть, например, один вариант "большого объединения" с группой SU(5). В нем объединяются сильное и электрослабое взаймодействие таким образом, что наша Евклидова симметрия все-таки сохраняется: правое нейтрино в нем не участвует. Но эта теория предсказывает распад протонов, что не наблюдается.

Чтобы понять, почему, надо рассматривать вопрос, какие взаимодействия появятся естественным образом в нашей модели.

Вилсоновские поля

Первый тип полей — это то, что получается, если есть какая-то иррегулярность в пространстве между двумя соседными клетками, как в верхней части картины. Эта иррегулярность влияет на взаимодействие между этими соседными клетками.

Как описать эффект этого на уравнение для фермионов? Есть простая идея: вместо точного описания того, что делается между клетками, мы заменим это другим описанием, где между клетками все хорошо и гладко, но зато клетка сдвинута, как в нижней части картины. Модифицированное уравнение такое, "как будто" одна из клеток сдвинута или деформированна.

Что важно при этом: Это касается только той части уравнения, которое описывает взаимодействие между этими двумя соседными клетками. Возможны разные "как будто"-деформации в разных направлениях, и они не должны быть согласованны между собой. Как раз это несогласованность приводит к тому, что разные фермионы уже не независимы, а взаимодействуют друг с другом.

Есть одно интересное свойство, схарактеризующее такое взаимодействие: Наша "как будто"-деформация определяется для каждой клетки в отдельности. Таким образом, она не "видит", на какой тип осциллации, значит, на какую часть электрослабой пары, она влияет. А математическое следствие этого — соответствующие взаимодействие действует одинаково на все компоненты электрослабых пар частиц.

Но это свойство выполнено для сильного взаимодействия SU(3)c: Оно зависит только от цвета частицы. Но цвет — одинаковый внутри электрослабых пар. Все ли это? Можно вычислить максимальную группу, которую можно таким образом построить, и которая сохраняет Евклидово симметрию и симплициальную структуру. Мы получаем группу U(3)c, что почти совпадает с группой сильных взаимодействии SU(3)c, только немножко больше. Разница маленкая:

U(3)c ≅ SU(3)c × U(1)B,

но все равно оно не обнаружено. Мы позже выясним почему.

Деформации самой решетки

Другая иррегулярность — это когда сама решетка деформированна. Теперь уже требуется изменение самого уравнения на решетке. Если для регулярной решетки достаточно рассматривать шесть ближайщих соседей каждой клетки, то при таких сдвигах как на картинке уже не обойтись без диагональных членов.

В отличии от предыдущего случая, теперь важно, какой тип осциллации рассматривается. Если на деформированной решетки на картинке рассматривать решение, которое осциллирует в вертикальном направлении, то с ней что-то очень нетривиальное случится вблизи плоскости сдвига. А если такой вертикальной осциллацией нету, то таких проблем не возникает.

За то ситуация попроще в другом отношении. Само уравнение Дирака одинакого для всех aiμ, никак не зависит от индексов i и μ. И нет никакой необходимости менять это для деформированной решетки. Поэтому можно заключить, что новое взаимодействие тоже не зависит от индексов i и μ полей aiμ. Значит, достаточно определить действие на одной паре частиц. При этом не надо забывать, что одна компонента должна остаться нетронутой.

Это еще не все, что нужно. Можно, в принципе, взять три половинки (левое нейтрино, левый и правый электрон) и на этих трех компонентах определить действие U(3) или SU(3). На самом деле группа меньше. Еще нужно дополнительное ограничение. Но и она уже есть. Оказывается, что образующие группы должны быть определенным образом связаны с сдвигами на решетке. А с тремя сдвигами, оказывается, как раз связаны операторы три операторы γ5Ii. А максимальную группу, которую можно получить с помощью этих операторов, оставляя правое нейтрино в покое, группа U(2)L × U(1)R. Нету в ней возможности превращать правую в левую компоненту.

В ней содержится группа слабых взаимодействии SU(2)L. Но есть в ней еще два поля, которые не наблюдаются.

Электромагнитное поле

Мы пока рассмотрели две возможные реализации калибровочных полей в нашей модели. Максимальная группа, которая может быть получена таким образом, группа

U(3)c × U(2)L × U(1)R

Осталось получить электромагнитное поле U(1)em, или, что равнозначно, поле гиперзаряда U(1)Y (разница между ними находитса в группе SU(2)L, которую мы уже получили). К счастию, ничего нового придумать не надо. Оно уже содержится в этой группе. Точнее:

U(1)Y ⊂S(U(1)B × U(1)R×U(1)L)

где S(.) обозначает подгруппу с определителем 1. Значит, мы уже получили всю группу стандартной модели как подгруппу:

U(3)c × U(2)L × U(1)R ⊃ GSM ≅ SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y.

Остались только две лишние диагональные поля, которыми отличаются полные унитарные группы U(N) от "специальных" унитарных групп SU(N), у которых определитель должен быть равным единице. Но заметим, что они не лишние: Они все понадобились для построения нужной группы U(1)Y.

Осталось выяснить, можно ли избавиться еще и от этих двух лишних диагональных полей.

Нейтральность основного состояния

Одна естественная возможность ограничения — требование нейтральности основного состояния (Дираковского "озера"). Следствие этого требования — сумма зарядов всех частиц должна равнятся нулью. Это эквивалентно требованию что определитель всех элементов калибровочной группы определитель должно быть единицей.

Как следствие, максимальная группа теперь S(U(3)c × U(2)L × U(1)R), а это на одну размерность меньше чем прежная U(3)c × U(2)L × U(1)R. И поле с барионным зарядом, которое было возможным, уже запрещено. Это важно, потому что такое поле, если оно имеется в природе, можно легко наблюдать: Земля была бы очень мощно заряжена, тем же зарядом как и все на ней. Если бы это поле было бы хоть отдаленно сравнимо по силе с электромагнитным, все бы разлетело моментально.

Теперь осталься только одна частица, которая допустима согласно нашим условиям, но которой нет в стандартной модели. Я называл эту частицу "верхный аксиальный бозон" U(1)U: Она действует только на верхние частицы дублетов — верхние кварки и лептоны — и чисто "аксиально" (значит на "левые" и "правые" компоненты с разным знаком).

Для этой частицы уже не так очевидно как для поля с барионным зарядом, что оно не существует в природе. И автор пока надеется на то, что эта частица обнаруживается в будущем.

Свобода от аномалии

Но есть еще одно уже давно известное, чисто техническое условие, которое называется "свобода от аномалии". Оно тоже может быть исползовано, чтобы избавится от дополнительных полей. У группы U(3)c × U(2)L × U(1)R, а также у ее специальной подгруппы S(U(3)c × U(2)L × U(1)R), есть эта аномалия. А у самой группы стандартной модели этой аномалии нету.

Таким образом, группа стандартной модели является максимально возможной среди тех, которые удовлетворяют нашими требованиями:

Таким образом, с помощью нашей модели мы почти однозначно вычислили калибровочную группу стандартной модели и ее действие на фермионах. (Оговорка "почти" нужна — ведь группа может быть и не максимальной.)

Гравитационное поле

Про гравитационное поле есть страницы на английском.

В общей теории относительности (ОТО) гравитационное поле описывается четырехмерной метрикой. В нашей теории имеется выделенное время T=X0 и Евклидово пространство с координатами Xi. Время T позволяет разбить метрику на три части — скаларное поле, трехмерное векторное поле, и трехмерная метрика. Это разбиение известно как "ADM decomposition".

Мы свяжем это разбиение с полями которые естественным образом возникают в непрерывном пределе: Скалярное поле — это плотность ρ(X,T). Векторное поле — скорость vi(X,T). А метрика — это тензор напряжении σij(X,T). Связь с метрикой такая:

g00(-g)12   =   ρ
gi0(-g)12   =   ρ vi
gij(-g)12   =   ρvivj - σij

Из теории сплошной среды известны основные уравнения для наших переменных ρ, vi, σij. Это уравнение непрерывности:

∂T ρ + ∂Xi (ρvi)  =  0

и уравнения Эйлера:

∂T (ρvj) + ∂Xi (ρvivjij)  =  0

Эти уравнения — законы сохранения. Естественно их связать по теореме Нётер с инвариатностью относительно временных и пространственных сдвигов.

В переводе на метрику мы получаем очень известное уравнение — гармоническое условие:

∂Xμ  gμν(-g)12  =  0

Название оно получило потому что она равнозначна тому что выделенные координаты Xμ удовлетворяют гармоническому уравнению для метрики:

∂Xμ   gμλ(-g)12∂Xλ Xν  =  0

Эти гармонические уравнения для выделенных координат имеет Лагранжеву форму для Лагранжиана

Lharm  =   - (8πG)-1 (Υ gμν μT ∂νT  -  Ξ gμν δijμXiνXj) (-g)12

c постоянными Ξ, Υ. На самом деле, уравнение Эйлера-Лагранжа для выделенных координат дает:

δ Lharmδ T  =  (4πG)-1 Υ  ∂Xμ   gμλ(-g)12∂Xλ T

δ Lharmδ Xi  =  - (4πG)-1 Ξ  ∂Xμ   gμλ(-g)12∂Xλ Xi

Вот эти уравнения мы берем как аксиомы нашей теории гравитации. В эфирных переменных они принимают такую форму:

δ Lδ T  =  (4πG)-1 Υ  (∂T ρ + ∂Xi ρvi)

δ Lδ Xν  =  - (4πG)-1 Ξ  (∂T ρvj + ∂Xi (ρvivjij))

А это всего лишь необычная форма записи теоремы Нётер: Законы сохранения получаются как уравнения Эйлера-Лагранжа для выделенных координат.

Но что из них следует? Пока мы нашли только один Лагранжиан который удовлетворяет нашим аксиомам. Какой же самый общий Лагранжиан, удовлетворяющий им? Способ выяснить это — простой. Рассматриваем вопрос, какое уравнение для координам получается для разницы L-Lharm:

δ L-Lharmδ Xν  =  0

Но это — условие ковариантности, независимости Лагранжиана от выделенной системы координат. Но это условие известное — это условие, определяющее самый общий Лагранжиан LGR общей теории относительности (вместе с Эйнштейновской космологической постоянной, и, конечно, с ковариатным Лагранжианом Lmatter для всех других (материальных) полей φm). Так что общий Лагранжиан нашей теории такой:

L  =  Lharm(gμν,Xμ) + LGR(gμν) + Lmatter(gμνm),

Lharm  =   - (8πG)-1 (Υ gμν μT ∂νT  -  Ξ gμν δijμXiνXj) (-g)12

В частности, мы вывели из наших аксиомов, что Лагранжиан всех других полей φm должен быть ковариантным. Но это одна из формулировок Эйнштейновского принципа эквивалентности. Тем более, у нашей теории есть предел Ξ, Υ → 0, в котором мы получаем Эйнштейновские уравнения ОТО. И этот предел еще и естественный: дополнительные члены, как и космологический терм Эйнштейна, не зависят от производных метрики.

Уравнение Дирака

Остановимся, в конце концов, еще на некоторых деталях нашей трехмерной геометрической интерпретации фермионов стандартной модели

Aff(3) ⊗ C ⊗ Λ(R3).

На нем мы можем определить уравнение Дирака красивым, геометрическим, способом. Для этого имеется трехмерный геометрический оператор Дирака на расслоении Λ(R3).

Но ведь обычное релятивистское уравнение Дирака — четырехмерное. И к тому еще — оно спинорное, а у нас не спинорное, а геоментрическое. Нету ли тут противоречия?

Нет. Во первых, уравнение Дирака мы предпочитаем писать в другом виде — в оригинальной Дираковской форме:

i ∂t ψ(x,t) = i αi ∂xi ψ(x,t) - β m ψ(x,t).

А соответствующий оператор β у нас найдется — он диагональный, -1 на формах нечетной и 1 на формах четной размерности.

А чтобы понять спинорный характер, важно иметь в виду, что описывается пара частиц. Поэтому еще и найдутся операторы изоспина Ii. И, оказывается, операторы спинорного вращения, со спином 1/2, вместе с операторам изоспина Ii, (а это тоже представление со спином 1/2) и дают представление со спином 1, значит, группой обычных вращении нашего геометрического представления.