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Das Zellgittermodell

Das Zellgittermodell ist ein erstaunlich einfaches Äthermodell, welches nichtdestotrotz in der Lage ist, alle beobachteten Teilchen und Felder des Standartmodells der Teilchenphysik zu reproduzieren, und es ist außerdem kompatibel mit meiner Äthertheorie der Gravitation. Während die meisten Äthertheorien, die man im Netz findet, völliger Schrott sind, ist dieses Modell zwar noch nicht Teil des Mainstream der Physik, aber immerhin (unter DOI 10.1007/s10701-008-9262-9) vom angesehenen Journal Foundations of Physics begutachtet und publiziert worden:

I. Schmelzer, A Condensed Matter Interpretation of SM Fermions and Gauge Fields, Foundations of Physics, vol. 39, 1, p. 73 (2009)

Für die, die englisch können, werden die englischen Seiten dazu interessanter sein.

Einige Grundideen

Im Gegensatz zu heutigen physikalischen Theorien, wie der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) oder dem Standardmodell der modernen Teilchenphysik (SM), wirkt das hier vorgeschlagene Äthermodell extrem primitiv, so primitiv, dass die Behauptung, man könne daraus alle beobachteten Felder des SM und der ART ableiten, geradezu wie eine Verhöhnung wirkt. Oder eben wie eine der vielen Nonsenstheorien, die den Namen "Theorie" nicht einmal verdienen, weil die Autoren nicht einmal wissen, wie wissenschaftliche Theorien aussehen.

Ja, es ist schon fast peinlich, aber so primitiv wie auf dem Bild sieht das Modell in der Tat aus. Ein einfaches Gitter aus Elementarzellen, die hin und her schwingen und auch deformierbar sind. Und ein nicht genauer spizifiziertes Medium dazwischen, welches die Kräfte zwischen den Zellen überträgt. Und aus diesem primitiven Modell soll etwas so kompliziertes wie das SM herleitbar sein?

Der Autor steht hier vor einem Dilemma. Dies Seite soll eigentlich für Laien sein – schließlich können die Profis sowieso englisch. Laien werden jedoch, bekanntermaßen, durch Formeln abgeschreckt. Aber ohne Formeln? Die Abwesenheit von Formeln in nichtorthodoxen physikalischen Theorien ist der sicherste Hinweis darauf, dass es sich um Schwachsinn handelt.

Versuchen wir es also. Zwar mit ein paar Formeln, aber solchen, die wir hier auch erläutern.

Affine Transformation

Beginnen wir damit, wie wir den Zustand einer Zelle beschreiben. Sie kann verschoben, verdreht, aber auch deformiert sein. Wir beschränken uns dabei jedoch auf die einfachsten, linearen Deformationen. Diese kann man dadurch charakterisieren, dass der Zustand der Zelle eindeutig durch die Position von vier Punkten bestimmt wird. Wir nehmen dazu den Ursprung O und die drei Endpunkte der drei farbigen Basisvektoren.

Die Abbildung von einer undeformierten Standard-Referenzzelle zur aktuellen Lage der Zelle ist dann eine einfache sogenannte affine Abbildung, und die Menge aller solcher Abbildungen im dreidimensionalen Raum heißt dreidimensionale affine Gruppe und wird mit Aff(3) bezeichnet. Jede solche Abbildung ist eine Kombination einer linearen Abbildung und einer Verschiebung:

y1 = a11x1+ a12x2+ a13x3+ a10
y2 = a21x1+ a22x2+ a23x3+ a20
y3 = a31x1+ a32x2+ a33x3+ a30

Die jeweils farbigen Koeffizienten in der Formel sind dabei die drei Koordinaten der entsprechenden Punkte im Bild. Man erkennt in dieser Formel eine klare 3⋅(3+1)-Struktur. Genau eine solche Strukture weisen aber auch die "Fermionen" genannten Teilchen des Standardmodells auf. Wie können alle Fermionen in einer Tabelle anordnen und folgendermaßen den Koeffizienten einer affinen Abbildung zuordnen:

rote Quarks grüne Quarks blaue Quarks Leptonen und Neutrinos
1. Generation a11 ~ (d,u)r a12 ~ (d,u)g a13 ~ (d,u)b a10 ~ (e,νe)
2. Generation a21 ~ (s, c)r a22 ~ (s, c)g a23 ~ (s, c)b a20 ~ (μ,νμ)
3. Generation a31 ~ (b,t)r a32 ~ (b,t)g a33 ~ (b,t)b a30 ~ (τ,ντ)

Dies kann natürlich noch nicht alles sein. Einer einzigen Zahl pro Elementarzelle — dem jeweiligen Koeffizienten aiμ — entspricht für das gesamte Gitter jeweils eine einzige reelle Funktion auf dem Gitter, nämlich die Funktion aiμ(n1,n2,n3), wobei die drei n1 beliebige ganze Zahlen sein dürfen.

Nur, was wir in der obigen Tabelle dieser einen Gitterfunktion zugeordnet haben, sind zwei verschiedene Teilchen. Und jedes dieser Teilchen hat noch zwei Spinkomponenten und außerdem noch ein Antiteilchen, auch dies mit jeweils zwei Spinkomponenten. Ist dies nicht doch etwas zu viel auf einmal?

Der Verdopplungseffekt

Hier hilft uns ein interessanter Effekt weiter, der sogenannte Verdopplungseffekt. Normalerweise kann man, wenn der Abstand Δ zwischen den Gitterpunkten zu klein ist, um gemessen zu werden, nur noch mit gemittelten Größen arbeiten. Statt einer Funktion f(n) auf dem Gitter beschreibt man die Lösung dann mit einer stetigen, glatten Funktion f0(x) für reelle Zahlen x, die sich zwischen x und x+Δ kaum ändert. Die Beziehung zwischen beiden ist

f(n) = f0(n⋅Δ).

Allerdings gibt es bei manchen Gleichungen den Effekt, dass auch andere, heftig oszillierende Lösungen der Gleichungen auftreten, und dass man diese nicht einfach vernachlässigen kann. Glücklicherweise kann man diese oszillierenden Lösungen doch noch recht einfach beschreiben, weil sie nach einem einfachen Schema oszillieren — die Werte auf geraden und ungeraden Knoten sind jeweils fast entgegengesetzt. In diesem Fall kann man auch wieder eine stetige Funktion f1(x) zu ihrer Beschreibung verwenden. Nur bekommt man jetzt die Gitterfunktion f(n) mit Hilfe einer anderen Formel, nämlich

f(n) = (-1)n f1(n⋅Δ),

also für gerade Knotennummern n nehmen wir f1(n⋅Δ), für ungerade jedoch -f1(n⋅Δ). Statt einer stetigen Funktion f0(x) brauchen wir also, um die wichtigen Lösungen einer solchen Gleichung zu beschreiben, zwei stetige Funktionen, f0(x) und f1(x). (Man kann, equivalent, statt einer stetigen und einer oszillierenden Komponente auch die Komponente auf geraden und ungeraden Knoten dazu verwenden, wie im Bild.)

Damit noch nicht genug. Wir haben ein dreidimensionales Gitter, also drei Richtungen, in denen eine Lösung oszillieren kann oder auch nicht kann. Und alle drei Richtungen sind in dieser Hinsicht unabhängig voneinander. Also brauchen wir nicht nur zwei, sondern zwei mal zwei mal zwei gleich acht verschiedene stetige Funktionen, um die wichtigen Lösungen für die eine Gitterfunktion zu beschreiben.

Man kann die verschiedenen Typen von Oszillationen in den verschiedenen Raumrichtungen relativ bequem mit sogenannten Differentialformen identifizieren:

Dies gibt insgesamt 1 + 3 + 3 + 1 = 8 verschiedene Funktionen. Der Faktor acht ist genau was wir an Freiheitsgraden brauchen: Zwei Fermionen mal (Teilchen plus Antiteilchen) mal zwei Spinkomponenten sind auch genau acht.

Die Menge aller Differentialformen auf einem Raum X wird mit Λ(X) bezeichnet. Auf dem dreidimensionalen Raum R3 ist dies also Λ(R3).

Komplexe Struktur

Wer schon mehr von der Dirac-Gleichung gehört hat, die dazu verwendet wird, Fermionen zu beschreiben, wird möglicherweise protestieren: Wir haben hier nur eine reelle Funktion. In der Dirac-Gleichung braucht man jedoch pro Freiheitsgrad eine komplexe Funktion. Ein Fermion, mit Antiteilchen und je zwei Spinkomponenten, wird mit vier komplexen Funktionen beschrieben. Also fehlt doch noch die Hälfte?

Nein, wir haben ja nicht nur die eine Zustandsvariable aiμ. Zu ihr gibt es auch noch eine ihr entsprechende Impulsvariable πiμ. Und man kann beide zu einer einzigen komplexen Zahl zusammenfassen, als

ziμ = aiμ + i πiμ.

Für die Menge der komplexe Zahlen verwenden wir ein C als Bezeichnung.

Geometrische Interpretation der Fermionen des Standardmodells

Damit haben wir alle Komponenten zusammen, die wir brauchen, um die Fermionen des Standardmodells zu beschreiben. Die Menge aller Gitterfunktionen, die wir bisher beschrieben haben, wird bezeichnet mit

Aff(3) ⊗ C(Z3).

Und wegen des Verdopplungseffekts brauchen wir zur Beschreibung die folgende Menge stetiger Funktionen:

Aff(3) ⊗ C ⊗ Λ(R3).

Das Interessante an dem Raum C ⊗ Λ(R3) ist, dass es auf ihm ein schon lange bekanntes geometrisches Analogon der Dirac-Gleichung gibt. Die bekanntere Version dieses Analogons heißt Dirac-Kähler Gleichung und lebt auf dem Raum der vierdimensionalen Formen C ⊗ Λ(R4). Dort gibt es 16 verschiedene Differentialformen, und deswegen beschreibt diese Gleichung genau vier Dirac-Fermionen (jedes Fermion braucht vier Komponenten).

Unser Raum ist kleiner, er hat eine Dimension weniger, enthält nur acht Differentialformen. Daher kommen auch nur zwei Dirac-Fermionen bei raus. Das ist aber genau das, was wir brauchen – für jede Komponente auf dem Gitter erhalten wir zwei Fermionen, mit je zwei Spinkomponenten sowie jeweils ein Teilchen mit einem Antiteilchen.

Wie wir später sehen werden, wirken innerhalb dieser Paare nur elektromagnetische und schwache Felder. Daher werden diese Paare "elektroschwache Paare" genannt.

Eichfelder

Eichfelder beschreiben die Wechselwirkungen zwischen den Fermionen. Davon gibt es im Standardmodell drei Sorten: Einmal das gute alte elektromagnetische Feld. Dann gibt es die starke Wechselwirkung, die einerseits die Quarks in den Protonen und Neutronen zusammenhält, andererseits die Protonen und Neutronen in den Atomkernen. Und dann gibt es noch die schwache Wechselwirkung, die für den radioaktiven Zerfall verantwortlich ist.

Die wichtigste Charakterisierung einer Wechselwirkung eines Eichfeldes mit anderen Feldern ist eine "Eichgruppe" genannte Menge von Transformationen. Eine Wechselwirkung mit einem Eichboson bewirkt eine Transformation des Zustandes der Fermionen, und diese Transformation muss Element dieser Eichgruppe sein.

Euklidische Symmetrie der Eichwechselwirkung

Die Art und Weise, wie die Eichfelder im Standardmodell mit den Fermionen wechselwirken, zeigt ein paar extreme Auffälligkeiten, die nach Erklärung verlangen. Das Standardmodell kann eine solche Erklärung nicht liefern: Man könnte fast beliebige andere Eichfelder einführen, ohne das dies irgendwelche Probleme bereiten würde.

Die erste Auffälligkeit ist, dass die Fermionen in drei Generationen vorkommen, und alle Eichfelder auf allen drei Generationen auf dieselbe Art wirken. Insbesondere wirken sie nur innerhalb der Generationen (wenn diese entsprechend definiert wurden).

Die zweite Auffälligkeit ist, dass es in jeder Generation eine Komponente gibt, die mit keinem Eichfeld wechselwirkt – die rechtshändige Komponente der Neutrinos.

Beide Auffälligkeiten ergeben sich jedoch aus unserem Modell auf einfachste Weise aus der Annahme, dass die Wirkung der Eichfelder auf das Gittermodell Euklidische Symmetrie hat: Wenn wir das Gitter als Ganzes drehen oder verschieben, ändern sich die Regeln für die Wechselwirkung mit den Eichfeldern nicht. Wenn wir diese natürliche Eigenschaft postulieren, ergeben sich daraus automatisch die obengenannten Auffälligkeiten als Folgerung:

Die komplexe Struktur

Eine weitere wichtige Symmetrieeigenschaft ist die Erhaltung der sogenannten "symplektischen Struktur". Diese "symplektische Struktur" ist ein Teil der Art und Weise, wie man die Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik aufschreiben kann. Hat man diese "symplektische Struktur" gegeben, dann reicht es, die Energie als Funktion der Position und des Impulses zu kennen, um daraus eindeutig die Bewegungsgleichungen erhalten zu können. Man kann daraus herleiten, dass es auch eine komplexe Struktur geben muss, die von den Eichfeldern erhalten wird. Die Eichgruppe muss eine Gruppe sein, die die diese komplexe Struktur erhält.

Transformationsgruppen, die eine komplexe Struktur erhalten, werden unitär genannt. Die Unitarität der Eichgruppen wird in der Quantenfeldtheorie einfach postuliert. In unserem Modell kann sie hergeleitet werden.

Eichwechselwirkungen im Gittermodell

Die obigen Eigenschaften sind noch nicht ausreichend, um die Eichfelder des Standardmodells eindeutig zu bestimmen: Die Eichgruppe des Standardmodells ist noch sehr viel kleiner als sie nach den bisher abgeleiteten Regeln sein dürfte. Wir brauchen zusätzliche Einschränkungen.

Dazu dient das Gittermodell. Wir fordern als weitere Eigenschaft, dass die Eichfelder sich auf natürliche Art als Wechselwirkungen im Gittermodell ergeben. Dazu haben wir zwei verschiedene Möglichkeiten identifiziert:

Wir haben damit alle Eichfelder des Standardmodells auf dem Gitter realisiert. Und das, was wir erhalten haben, ist nur noch minimal größer als die Eichgruppe des Standardmodels: Wir haben lediglich zwei eindimensionale Zusatzfelder.

Weitere Bedingungen

Eine weitere Zusatzbedingung ergibt sich, wenn man fordert, dass der "Dirac-See" neutral sein muss. Daraus folgt die Zusatzbedingung, dass die Determinante 1 sein muss, oder die Summe aller Ladungen 0. Dadurch entfällt ein weiteres der zwei restlichen Zusatzfelder. Die maximale Eichgruppe ist in diesem Fall

Gmax ≅ S(U(3)c × U(2)L × U(1)R)

Sie enthält, im Vergleich zum Standardmodell, nur noch ein einziges eindimensionales Zusatzfeld. Dieses habe ich "oberes axiales Eichboson" getauft. Es wechselwirkt nur mit den oberen Quarks und die Leptonen, nicht mit den unteren Quarks und den Neutrinos. Es wandelt keine Teilchen in andere um. Die Ladung der linken Komponente ist der Ladung der rechten Komponente entgegengesetzt, eine Eigenschaft, die "axial" genannt wird.

Allerdings besitzt es noch eine weitere Eigenschaft, die erklären könnte, warum man es bisher noch nicht gesehen hat: Es hat eine sogenannte "axiale Anomalie". Die Standardmethode, Eichfelder zu quantisieren, funktioniert für solche anomalen Felder überhaupt nicht, und kein anderes Eichfeld des Standardsystems hat eine solche Anomalie. Wenn wir also, als letztes Zusatzaxiom, Anomaliefreiheit fordern, erhalten wir die Eichgruppe des Standardmodells exakt, als maximal mögliche Eichgruppe unseres Modells.

Die Standardmethode zur Quantisierung von Eichfeldern kann man jedoch in unserem Modell nicht verwenden. Und ob die Methode, die statt dessen in unserem Modell verwendet werden muss, auch Felder mit axialer Anomalie verbietet, ist höchst zweifelhaft. Es kann also durchaus sein, dass dieses letzte Axiom nicht gut begründet ist, und dass das obere axiale Eichboson existiert. Von der experimentellen Seite aus gesehen scheint dies nicht ausgeschlossen: Es hätte eine unabhängige Wechselwirkungskonstante, die klein sein kann, und vermutlich auch eine noch unbekannte Masse, die groß sein kann.

Was noch offen ist

Wissenschaftliche Theorien unterscheiden sich insbesondere auch darin von Pseudowissenschaften, das sie noch ungelöste Fragen benennen. Noch ungelöste Probleme gibt es für unser Modell noch genug.